호의 길이·넓이 공식으로 비율을 계산한다

[정답] 80

[출제 의도] 직선, 평면, 구의 방정식

[해설]

두 점 P, Q에서 평면 ABC에 내린 수선의 발을 각각

P′, Q′이라 하면 두 점 P′, Q′은 각각 두 직선 AC, BC가 이루는 각의 이등분선 위에 존재한다.^{[참고] 3 각주 내용입니다.}

PA¯¯¯¯¯¯¯¯⟨QA¯¯¯¯¯¯¯¯에서 P′A¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯⟨Q′A¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯이므로

점 P′은 ∠ACB의 이등분선 위의 점이고 ^{4 각주를 입력합니다.}

점 Q′은 직선 AC 위의 AD¯¯¯¯¯¯¯¯⟩CD¯¯¯¯¯¯¯¯인 점 D에 대하여

∠BCD의 이등분선 위의 점이다.

삼각형 ABC의 넓이가 33–√이므로

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하면

3√4a2=33–√ ∴ a=23–√

이때 두 삼각형 AP′C와 BP′C는 서로 합동이므로

AP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=BP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=23–√tanπ6=2

이고 점 A에서 직선 P′Q′에 내린 수선의 발을

H라 하면

AH¯¯¯¯¯¯¯¯=AB¯¯¯¯¯¯¯¯×cosπ3=3–√

이다. 위와 같은 방법으로

BQ′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=BC¯¯¯¯¯¯¯¯×tanπ3=6

이다. ^{5 두번째 각주 입니다.}

한편,

HP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=BH¯¯¯¯¯¯¯¯–BP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ =3–2=1

이고 PP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=QQ′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=h라 하면

PH¯¯¯¯¯¯¯¯=PP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯2+HP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯2−−−−−−−−−−−√=h2+1−−−−−√ PA¯¯¯¯¯¯¯¯=PP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯2+AP′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯2−−−−−−−−−−−√=h2+4−−−−−√

이고 두 직선 BC, AH가 서로 평행하므로

∠PAH=θ이다.

삼각형 PAH에서 코사인법칙에 의하여

cosθ=PA¯¯¯¯¯¯¯¯2+AH¯¯¯¯¯¯¯¯¯2–HP¯¯¯¯¯¯¯¯¯22×PA¯¯¯¯¯¯¯¯×AH¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 3√3=h2+4+3–h2–12×h2+4√×3√ ∴ h=5–√

점 B와 직선 PQ 사이의 거리는 h=5–√이므로

사면체 PQAB의 부피는

V=13×(12×PQ¯¯¯¯¯¯¯¯×h)×AH¯¯¯¯¯¯¯¯ =13×(12×8×5–√)×3–√ =415√3

∴ 3V2=3×803=80

[참고]

평면 ABC와 평면 ABC 외부의 한 점 X에 대하여

점 X에서 두 직선 AB, BC에 내린 수선의 발이

각각 B, C일 때, 점 X에서 평면 ABC에 내린 수선의 발을 H라 하자.

삼수선의 정리에 의하여 두 선분 AB, BH는 서로 수직이고 두 선분 AC, CH는 서로 수직이다.

이때

BH¯¯¯¯¯¯¯¯=XB¯¯¯¯¯¯¯¯2–XH¯¯¯¯¯¯¯¯¯2−−−−−−−−−√ CH¯¯¯¯¯¯¯¯=XC¯¯¯¯¯¯¯¯2–XH¯¯¯¯¯¯¯¯¯2−−−−−−−−−√

이므로 XB¯¯¯¯¯¯¯¯=XC¯¯¯¯¯¯¯¯이면 BH¯¯¯¯¯¯¯¯=CH¯¯¯¯¯¯¯¯이다.

따라서 ∠BAC의 이등분선 위에 점 H가 존재한다.